一般情况下，当H0:β1=0H_0: \beta_1 = 0H0:β1=0 被接受的时候，表明 yyy 的取值倾向不随 xxx 的值按线性关系变化。这种情况的原因可能是变量 yyy 与 xxx 之间的相关关系不显著，也可能是 yyy 与 xxx 并非线性相关。
当H0:β1=0H_0: \beta_1 = 0H0:β1=0 被拒绝的时候，如果没有其它信息，只能认为因变量 yyy 对 xxx 的线性回归是有效的，但并没有说明回归的有效程度，不能断言 yyy 与 xxx 之间一定是线性相关关系，而不是曲线关系或其他关系。这时候图形表现就很重要了。
4组数据示例
1-数据准备
import numpy as npx1 = list(range(4,15))x4 = [8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 19]y1 = [4.26, 5.68, 7.24, 4.82, 6.95, 8.81, 8.04, 8.33, 10.84, 7.58, 9.96]y2 = [3.10, 4.74, 6.13, 7.26, 8.14, 8.77, 9.14, 9.26, 9.13, 8.74, 8.10]y3 = [5.39, 5.73, 6.08, 6.44, 6.77, 7.11, 7.46, 7.81, 8.15, 12.74, 8.84]y4 = [6.58, 5.76, 7.71, 8.84, 8.47, 7.04, 5.25, 5.56, 7.91, 6.89, 12.5]x1_in = np.array(x1).reshape(-1,1)x4_in = np.array(x4).reshape(-1,1)y1_in = np.array(y1).reshape(-1,1)y2_in = np.array(y2).reshape(-1,1)y3_in = np.array(y3).reshape(-1,1)y4_in = np.array(y4).reshape(-1,1)
图示
import matplotlib.pyplot as pltplt.style.use('ggplot')plt.subplot(2,2,1)plt.xlim(0,20),plt.ylim(0,15)plt.scatter(x1_in, y1_in,s = 8)plt.subplot(2,2,2)plt.xlim(0,20),plt.ylim(0,15)plt.scatter(x1_in, y2_in, s = 8)plt.subplot(2,2,3)plt.xlim(0,20),plt.ylim(0,15)plt.scatter(x1_in, y3_in,s = 8)plt.subplot(2,2,4)plt.xlim(0,20),plt.ylim(0,15)plt.scatter(x4_in, y4_in,s = 8)plt.show()
2-回归
from sklearn.linear_model import LinearRegression lrg1 = LinearRegression()lrg1.fit(x1_in,y1_in)lrg2 = LinearRegression()lrg2.fit(x1_in,y2_in)lrg3 = LinearRegression()lrg3.fit(x1_in,y3_in)lrg4 = LinearRegression()lrg4.fit(x4_in,y4_in)get_lr_stats(x1_in, y1_in, lrg1)get_lr_stats(x1_in, y2_in, lrg2)get_lr_stats(x1_in, y3_in, lrg3)get_lr_stats(x4_in, y4_in, lrg4)
四个模型参数几乎一样(
get_lr_stats在Python_一元线性回归及回归显著性 中)但是并非全都是线性回归
>>> get_lr_stats(x1_in, y1_in, lrg1)一元线性回归方程为:y=3.000090909090906 + 0.5000909090909094*x相关系数(R^2)： 0.6665424595087752；回归分析(SSR)： 27.51000090909094；残差(SSE)： 13.76269；F ： 17.989942967676996； pf ： 0.002169628873078789t ： 4.689105252775333；pt ： 0.0005687504416628528>>> get_lr_stats(x1_in, y2_in, lrg2)一元线性回归方程为:y=3.0009090909090883 + 0.5000000000000002*x相关系数(R^2)： 0.6662420337274844；回归分析(SSR)： 27.500000000000014； 残差(SSE)： 13.776290909090912；F ： 17.965648492271313； pf ： 0.002178816236910796t ： 4.685937987627148；pt ： 0.0005712964612135407>>> get_lr_stats(x1_in, y3_in, lrg3)一元线性回归方程为:y=3.007545454545453 + 0.49936363636363645*x相关系数(R^2)： 0.6660467267232798；回归分析(SSR)： 27.430044545454564； 残差(SSE)： 13.753319090909097；F ： 17.949878082322083； pf ： 0.0021848056073100444t ： 4.683880856554066；pt ： 0.0005729566449371534>>> get_lr_stats(x4_in, y4_in, lrg4)一元线性回归方程为:y=3.0017272727272726 + 0.4999090909090909*x相关系数(R^2)： 0.6667072568984653；回归分析(SSR)： 27.490000909090913； 残差(SSE)： 13.742490000000004；F ： 18.003288209183207； pf ： 0.0021646023471972213t ： 4.690844158819928；pt ： 0.0005673577949779548
3-回归图示
## 回归后图示xl = np.array(list(range(0,21))).reshape(-1,1)plt.subplot(2,2,1)plt.xlim(0,20),plt.ylim(0,15)plt.scatter(x1_in, y1_in,s = 8)plt.plot(xl, lrg1.predict(xl),c='steelblue', alpha=0.7, lw=1)plt.subplot(2,2,2)plt.xlim(0,20),plt.ylim(0,15)plt.scatter(x1_in, y2_in, s = 8)plt.plot(xl, lrg1.predict(xl),c='steelblue', alpha=0.7, lw=1)plt.subplot(2,2,3)plt.xlim(0,20),plt.ylim(0,15)plt.scatter(x1_in, y3_in,s = 8)plt.plot(xl, lrg1.predict(xl),c='steelblue', alpha=0.7, lw=1)plt.subplot(2,2,4)plt.xlim(0,20),plt.ylim(0,15)plt.scatter(x4_in, y4_in,s = 8)plt.plot(xl, lrg1.predict(xl),c='steelblue', alpha=0.7, lw=1)plt.show()
因此，在实际应用中，不应该局限于一种方法去分析判断。要得到，确实可信的结果，应该将F检验、散点图、残差分析等方法一起使用，得到一致的结果才可以下定论
