Lucas-Kanade 算法原理以及应用
Lucas-Kanade 算法原理以及应用一 算法原理1 目标函数2 一阶泰勒公式展开3 最小化目标函数条件下的pDelta p 二 LK算在跟踪的应用1 平移角度尺度版本2 平移版本3 平移尺度版本4 算法流程 三 小结四 参考文献一 算法原理
1.1 目标函数
Lucas-Kanade Algorithm本质上是为了最小化目标函数：
∑x[I(W(x;p+Δp))−T(x)]2（1）
类似高斯牛顿法。其中x为图像下标，可以是二维（对应图像像素的坐标），也可以是一维（此时为图像展成一维数组时对应的下标）；
2D平移：
3D仿射变化
W(x;p)=(1+p1p2p31+p4p5p6)⎛⎝⎜xy1⎞⎠⎟
其中[p=(p1p2p3p4p5p6)T]
1.2 一阶泰勒公式展开
对公式1进行一阶泰勒公式展开可得
\[∑x[I(W(x;p))+∇I∂W∂pΔp−T(x)]2\]（2）
其中
[∇I=(IxIy)]
设I已经展开成一列n维向量，则
1.3 最小化目标函数条件下的Δp
求公式2关于Δp的偏导数
2∑x[∇I∂W∂p]T[I(W(x;p))+∇I∂W∂pΔp−T(x)]（3）
让公式3等于0，则
Δp=H−1∑x[∇I∂W∂p]T[T(x)−I(W(x;p))]（4）
其中
H=∑x[∇I∂W∂p]T[∇I∂W∂p]
二 LK算在跟踪的应用
这部分将LK算法应用到具体的目标跟踪中，假设跟踪目标用一个角度、尺度可变的矩形进行描述
将矩形框的位移、角度和尺度参数代入公式W(x;p)、x和
2.1 平移、角度尺度版本
\[W(x;p)=(xScosθ−ySsinθ+ΔxxSsinθ+yScosθ+Δy)\]变换参数p=(Δx,Δy,θ,S)T，顺时针方向为正方向
则有以下推导
∂W∂p=(1001−xSsinθ−yScosθxScosθ−ySsinθxcosθ−ysinθxsinθ+ycosθ)
∇I∂W∂p=(∂I∂x∂I∂y)(1001−xSsinθ−yScosθxScosθ−ySsinθxcosθ−ysinθxsinθ+ycosθ)
=∂I∂x∂I∂y(−(xsinθ+ycosθ)∂I∂x+(xcosθ−ysinθ)∂I∂y)S(xcosθ−ysinθ)∂I∂x+(xsinθ+ycosθ)∂I∂y
所以∇I∂W(x;0)∂p=(∂I∂x∂I∂y−y∂I∂x+x∂I∂yx∂I∂x+y∂I∂y)
2.2 平移版本
[W(x;p)=(x+Δxy+Δy)]，其中p=(Δx,Δy)T则有：
∂W∂p=(1001)\[∇I∂W∂p=(∂I∂x∂I∂y)(1001)=(∂I∂x∂I∂y)\]
所以可得：[∇I∂W(x;0)∂p=(∂I∂x∂I∂y)]
2.3 平移、尺度版本
[W(x;p)=(Sx+ΔxSy+Δy)]，其中[p=(Δx,Δy,S)T]，可得
\[∇I∂W∂p=(∂I∂x∂I∂y)(1001xy)=(∂I∂x∂I∂y)\]
所以\[∇I∂W(x;0)∂p=(∂I∂x∂I∂yx∂I∂x+y∂I∂y)\]
2.4 算法流程
根据p按三 小结
1、本文的方法本质上是通过梯度下降方法来寻找局部最优解，因此需要初始位置要在最优解的领域内。也就是说，前后两帧目标状态不发发生明显变化的情况。
2、克服目标的大范围运动，可以通过图像金字塔的方法进行跟踪
3、在opencv中，其LK光流算法是实现图像子块的位置跟踪，子块大小一般为5*5.opencv的这个函数是结合图像金字塔，实现对子块的大范围跟踪。但这个函数不能直接得到子块的尺度和角度变化。
4、opencv的LK目标跟踪算法不能应用于光照突变的情况。但是如果目标函数的I和T如果是经过标准化的，相信能提高对光照变化的抗干扰能力
