随机过程：泊松过程性质

(0)XiX_iXi​ 独立同分布 λeλxi\lambda e^{\lambda x_i}λeλxi​

证明独立同分布P(AB)=P(A)∗P(B∣A)=P(A)∗P(B)由泊松过程的定义，先求X1的分布函数P(X1≤x1)，P(X1>x1)=P(Nx1=0)=e−λx1X1的分布密度为：(1−e−λx1)′=λe−λx1P(X2>x2∣X1=x1)=e−λx2结果与X1的取值无关，X1与X2无关\href{/question/1244736232326134019.html}{证明独立同分布P(AB)=P(A)*P(B|A)=P(A)*P(B)}\\ 由泊松过程的定义，先求X_1的分布函数P(X_1\leq x_1)，\\ P(X_1>x_1)=P(N_{x_1}=0)=e^{-\lambda x_1}\\ X_1的分布密度为：(1-e^{-\lambda x_1})'=\lambda e^{-\lambda x_1}\\ P(X_2>x_2|X_1=x_1)=e^{-\lambda x_2}\\ \color{red} 结果与X_1的取值无关，X_1与X_2无关 证明独立同分布P(AB)=P(A)∗P(B∣A)=P(A)∗P(B)由泊松过程的定义，先求X1​的分布函数P(X1​≤x1​)，P(X1​>x1​)=P(Nx1​​=0)=e−λx1​X1​的分布密度为：(1−e−λx1​)′=λe−λx1​P(X2​>x2​∣X1​=x1​)=e−λx2​结果与X1​的取值无关，X1​与X2​无关

泊松过程{Nt,t≥0}(1)当s<t,P(Ns=k∣Nt=n)=Cnk(st)k(1−st)n−k,k=0,1,…，n泊松过程\{N_t,t\geq 0\} \\ (1) 当s < t,P(N_s=k|N_t=n)=C_n^k(\frac{s}{t})^k(1-\frac{s}{t})^{n-k},k=0,1,…，n泊松过程{Nt​,t≥0}(1)当s<t,P(Ns​=k∣Nt​=n)=Cnk​(ts​)k(1−ts​)n−k,k=0,1,…，n

泊松过程{Nt,t≥0}(2)在[0,t]内事件A已经发生n次，求第k次发生时间Sk的条件概率密度（Sn服从参数为n,λ的分布密度f(t)=λe−λt(λt)n−1(n−1)!,t≥0）泊松过程\{N_t,t\geq 0\} \\ (2) 在[0,t]内事件A已经发生n次，求第k次发生时间S_k的条件概率密度（S_n服从参数为\color{red}n,\lambda \color{black} 的分布密度f(t)=\lambda e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^{n-1}}{(n-1)!},t\geq 0）泊松过程{Nt​,t≥0}(2)在[0,t]内事件A已经发生n次，求第k次发生时间Sk​的条件概率密度（Sn​服从参数为n,λ的分布密度f(t)=λe−λt(n−1)!(λt)n−1​,t≥0）

先求分布函数，再求其微分的极限P(s<Sk≤s+h∣Nt=n)=P(s<Sk≤s+h,Nt=n)P(Nt=n)=P(s<Sk≤s+h,Nt−Ns+h=n−k)P(Nt=n)利用bossion过程独立增量性=P(s<Sk≤s+h)∗P(Nt−Ns+h=n−k)P(Nt=n)先求分布函数，再求其微分的极限\\ P(s< S_k\leq s+h|N_t=n) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ =\frac{P(s< S_k\leq s+h,N_t=n)}{P(N_t=n)} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ =\frac{P(s< S_k\leq s+h,N_t-N_{s+h}=n-k)}{P(N_t=n)} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \tiny 利用bossion过程独立增量性 \normalsize \\ =\frac{P(s< S_k\leq s+h)*P(N_t-N_{s+h}=n-k)}{P(N_t=n)} \\ 先求分布函数，再求其微分的极限P(s<Sk​≤s+h∣Nt​=n)=P(Nt​=n)P(s<Sk​≤s+h,Nt​=n)​=P(Nt​=n)P(s<Sk​≤s+h,Nt​−Ns+h​=n−k)​利用bossion过程独立增量性=P(Nt​=n)P(s<Sk​≤s+h)∗P(Nt​−Ns+h​=n−k)​

Sk的条件概率密度分布，P(s∣St=n)=f(s)=lim⁡h→0P(s<Sk≤s+h)∗P(Nt−Ns+h=n−k)h∗P(Nt=n)=P(Nt−Ns=n−k)P(Nt=n)∗lim⁡h→0P(s<Sk≤s+h)h=P(Nt−Ns=n−k)P(Nt=n)∗λe−λs(λs)k−1(k−1)!n!(k−1)!(n−k)!sk−1tk(1−st)n−kS_k的条件概率密度分布，P(s|S_t=n)=f(s)\\ =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{P(s< S_k\leq s+h)*P(N_t-N_{s+h}=n-k)}{h*P(N_t=n)} \\ =\frac{ P(N_t-N_{s}=n-k)}{P(N_t=n)}*\lim_{h\rightarrow 0}\frac{P(s< S_k\leq s+h)}{h} \\ =\frac{ P(N_t-N_{s}=n-k)}{P(N_t=n)}*\lambda e^{-\lambda s}\frac{(\lambda s)^{k-1}}{(k-1)!} \\ \frac{n!}{(k-1)! (n-k)!}\frac{s^{k-1}}{t^k}(1-\frac{s}{t})^{n-k} Sk​的条件概率密度分布，P(s∣St​=n)=f(s)=h→0lim​h∗P(Nt​=n)P(s<Sk​≤s+h)∗P(Nt​−Ns+h​=n−k)​=P(Nt​=n)P(Nt​−Ns​=n−k)​∗h→0lim​hP(s<Sk​≤s+h)​=P(Nt​=n)P(Nt​−Ns​=n−k)​∗λe−λs(k−1)!(λs)k−1​(k−1)!(n−k)!n!​tksk−1​(1−ts​)n−k

以上方法与根据已知的分布密度函数直接计算相同更简单地直接带入：P(Nt−Ns=n−k)P(Nt=n)∗fSk(s)以上方法与根据已知的分布密度函数直接计算相同\\ 更简单地直接带入：\frac{ P(N_t-N_{s}=n-k)}{P(N_t=n)}*f_{S_k}(s) 以上方法与根据已知的分布密度函数直接计算相同更简单地直接带入：P(Nt​=n)P(Nt​−Ns​=n−k)​∗fSk​​(s)

(3)两个随机过程的和是随机过程(3) 两个随机过程的和是随机过程(3)两个随机过程的和是随机过程

也算是继承了泊松分布（是满足可加性的分布）的特性(利用指数函数的加变×性质)\tiny 也算是继承了泊松分布（是满足可加性的分布）的特性(利用指数函数的加变×性质)也算是继承了泊松分布（是满足可加性的分布）的特性(利用指数函数的加变×性质)

φN1(u)=e(λ1∗t)∗(eiu−1)φN2(u)=e(λ2∗t)∗(eiu−1)N1(t)+N2(t)的特征函数：φN1+N2(u)=E(eiu∗(N1(t)+N2(t)))X,Y独立⇒E(f(X)∗g(Y))=E(f(X))∗E(g(Y))E(eiu∗(N1(t)+N2(t)))=E(eiu∗N1(t))∗E(eiu∗N2(t))=e(λ1∗t)∗(eiu−1)∗e(λ2∗t)∗(eiu−1)=e(λ1∗t+λ2∗t)∗(eiu−1)由特征函数与分布的一一对应关系可得N1(t)+N2(t)是强度为λ1+λ2的随机过程φ_{N_1}(u)=e^{(\lambda_1 *t)*(e^{iu}-1)}\\ φ_{N_2}(u)=e^{(\lambda_2 *t)*(e^{iu}-1)} \\ N_1(t)+N_2(t)的特征函数：φ_{N_1+N_2}(u)=E(e^{iu*(N_1(t)+N_2(t))})\\ \color{red} X,Y独立 \Rightarrow E(f(X)*g(Y))=E(f(X))*E(g(Y)) \color{balck}\\ E(e^{iu*(N_1(t)+N_2(t))})=E(e^{iu*N_1(t)})*E(e^{iu*N_2(t)})\\ =e^{(\lambda_1 *t)*(e^{iu}-1)}*e^{(\lambda_2 *t)*(e^{iu}-1)}\\ =e^{(\lambda_1 *t+\lambda_2 *t)*(e^{iu}-1)}\\ 由特征函数与分布的一一对应关系可得N_1(t)+N_2(t)是强度为\lambda_1 +\lambda_2的随机过程 φN1​​(u)=e(λ1​∗t)∗(eiu−1)φN2​​(u)=e(λ2​∗t)∗(eiu−1)N1​(t)+N2​(t)的特征函数：φN1​+N2​​(u)=E(eiu∗(N1​(t)+N2​(t)))X,Y独立⇒E(f(X)∗g(Y))=E(f(X))∗E(g(Y))E(eiu∗(N1​(t)+N2​(t)))=E(eiu∗N1​(t))∗E(eiu∗N2​(t))=e(λ1​∗t)∗(eiu−1)∗e(λ2​∗t)∗(eiu−1)=e(λ1​∗t+λ2​∗t)∗(eiu−1)由特征函数与分布的一一对应关系可得N1​(t)+N2​(t)是强度为λ1​+λ2​的随机过程