线性反馈移位寄存器（LFSR）循环码编码原理

   作为知识储备，近日在学习循环码编码的原理，教材为John G.Proakis和Masoud Salehi所著的《数字通信》第五版，循环码编码器对应于课本的第328页，对于利用LFSR实现模2除法书本只给出了大体框架，并没有详细阐述其具体的原理，通过查阅其他书籍和相关博客关于此方面的详细分析也十分少，最终经过一下午的苦思冥想，终于有了一些成果。

1.基本原理

   对于一个 (n,k)循环码可以用一个n-k次的生成多项式g(X)来生成，其消息多项式为u(X)。对于一个(n,k)循环码，n为码字的长度，k为编码的信息序列长度。

   系统循环码（前k个bit的码元为信息位）通过如下的方法产生：

1.将消息多项式u(X)乘以X^(n-k)；

2.将X^(n-k)*u(X)除以g(X)得到余式r(X);

3.将r(X)加到X^(n-k)*u(X)。

   使用LFSR进行系统循环码编码的示意图如下所示：编码器的前k比特的输出直接就是k位信息比特，并且由于此时开关①处于闭合位置，这k比特在输出也按时钟频率同步的进入移位寄存器，在k位信息比特全部进入编码器后，两个开关均切换到相反的位置，此时移位寄存器的内容就是n-k位校验比特，它对应于余式的系数，这n-k位校验比特按时钟频率每节拍输出1个比特并送入调制器。

2.举例分析

一个生成多项式g(X)=X^3+X+1的（7，4）循环码，其移位寄存器结构如下图所示：

假设输入消息比特为0110，则移位寄存器的内容随着时钟频率节拍的变化如下表：

C3代表余数的高位，g(X)矢量表示为1011，u(X)矢量表示为0110，X^(n-k)*u(X)的矢量表示为0110000，

把0110000理解为0000000+100000+10000+0000，依次对应着线性移位寄存器的4次移位。

总结：可以看到，商的值取决于当前信息比特和上一级运算后余数的最高位C2，两者做异或运算，即两者不同时商为1，相同时商为0，以此来消掉当前输入比特，当商为0时，LFSR简化为单纯的移位寄存器，余数完成移位，当商为1时，LFSR完成g(X)与上一级余数的加运算并移位。在信息比特输入完毕之后，开关切换位置，此时C0C1C2存储的便是余数信息，经过三个时钟周期节拍，监督位跟随信息位输出，最终完成系统循环码的编码。