无理数的确认──第一次数学危机
现代文明的基础，很大程度上由2000多年前生活在小小希腊城邦的科学家们建立。公元前500年左右，古希腊的毕达哥拉斯创建了毕达哥拉斯学派。这个学派认为：“万物皆数”（指整数），数是现实的基础，是严整性和次序的根据，是在宇宙体系里控制着的永恒的关系。数学的知识是可靠的、准确的；数学的知识由于纯粹的思维而获得，不需要观察、直觉和日常经验。毕达哥拉斯学派和更早的以泰勒斯为代表的米利都学派一起开创了应用演绎推理解决数学问题的先河。从某种意义上来讲，现代意义下的数学，也就是作为演绎系统的纯粹数学，来源于古希腊。
整数是在对于对象的有限集合进行计算的过程中产生的抽象概念。日常生活中，不仅要计算单个的对象，还要度量各种很难分离为单独个体的量，例如长度、重量、体积和时间等等。为了满足这些简单的度量需要，人们提出了分数。在分数和整数的基础上，人们进一步提出了有理数的概念。所谓有理数即为两个整数p、q的商p/q，q≠0,那么由于有理数系统包括了所有的整数和分数，所以仅使用有理数对于进行实际量度已经足够了。
对有理数有一种简单的几何解释。在一条水平直线上，标出一段线段作为单位长，如果令它的左端点和右端点分别表示0和1，则可用这条直线上的间隔为单位长的点的集合来表示整数，正整数在0的右边，负整数在0的左边。以q为分母的分数，可以用每一单位间隔分为q等分的点表示。于是，每一个有理数都对应着直线上的一个点。古代数学家们认为，不言而喻，这样能把直线上所有的点用完。从这个角度来看，“整数是完美的”。毕达哥拉斯学派甚至将自己的全套哲学思想建立在了“整数”的基础上。但是，恰恰是毕达哥拉斯学派在大约公元前400年发现：直线上存在不对应于任何有理数的点。特别是，他们证明了：在这条直线上的点p不对应于任何一个有理数，这里距离op等于边长为单位长的正方形的对角线，如图1所示。
图1 无理数的发现
因此，必须发明新的数对应这样的点；由于这些数不可能是有理数，只好称它们为无理数。无理数的发现，是毕达哥拉斯学派最伟大的成就之一，也是数学史上一个重要的里程碑。
为了证明以单位长为边的正方形的对角线的长不能用有理数来表示，根据勾股定理，只要证明是无理数就够了。据亚里士多德说，历史上最早证明√2是无理数的数学家正是毕达哥拉斯本人。他找到了一个方法来证明不能表示成p/q。这里，p,q是没有公约数的正整数。
无理数的发现，引起了第一次数学危机。首先，对于全部依靠整数的毕达哥拉斯哲学，这仿佛一次致命的打击。其次，无理数看来与常识相矛盾，因为直觉地感到：任何量都可以被表示为某个有理数。在几何上的对应情况，同时也是令人惊讶的，因为与直观相反，存在不可通约的线段，即没有公共的量度单位的线段。由于毕达哥拉斯学派关于比例的定义假定了任何两个同类量是可通约的，所以毕达哥拉斯学派比例理论中的所有命题都局限在了可通约的量上，这样他们的比例理论及其推论将不得不被全部抛弃。“逻辑上的矛盾”是如此之大，以致于有一段时间，毕达哥拉斯和他的门徒费了很大的精力，将此事保密，不准外传。据说，毕达哥拉斯的一个学生希帕苏斯，由于泄露了这个秘密而被扔进了大海。
中国有一句古话“纸里包不住火”。人们很快发现不可通约性并不是罕见的现象。后来，据柏拉图说，昔拉图的狄奥多鲁斯在大约公元前425年，指出面积等于3、5、6……17的正方形的边与单位正方形的边也不可通约，并对每一种情况都单独予以证明。随着时间的推移，无理数的存在逐渐成为人所共知的事实。诱发这次危机的另一个间接因素是“芝诺悖论”的出现。它更增加了数学家们的担忧：数学是否还有可能维持作为一门精确的科学？宇宙的和谐性是否还存在？
动摇数学基础的第一次危机并没有很轻易地被解决。最后的成功在大约公元前370年，那是卓越的欧多克斯（Eudoxus）的功绩。欧多克斯是柏拉图的同辈，是毕达哥拉斯学派阿契塔的学生。欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了这个棘手的“矛盾”。欧多克斯处关于处理不可通约量的杰出论述，出现在欧几里得《原本》第5卷中，并且和狄德金于1872年给出的无理数的现代解释基本一致。
第一次数学危机表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之数却可以由几何量表示出来。整数的尊崇地位受到了挑战，古希腊的数学观点受到极大的冲击。从此，几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。第一次数学危机同时反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的。从此希腊人开始从“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系。这是数学思想上的一次革命，也是第一次数学危机的自然产物。
只是可惜的是，自然数的原始定义会产生悖乱，所以通过对空集以及空集的集合计数才能保证，自然数定义是有效。
