(1)简述矩阵的秩和向量组的秩的定义;(2)从定义出发分析两者之间的相互关系。
(1)简述矩阵的秩和向量组的秩的定义:
矩阵的秩的定义:设在矩阵A中有一个不为0的r阶子式D,且所有的r+1阶子式(若存在)全为0,则D称为矩阵A的最高阶非零子式,它的阶数r称为矩阵A的秩,记作R(A)。
矩阵A的秩
.而且有
.
对于n阶方阵,其n阶子式只有一个,即它的行列式。如果|A|≠0,则矩阵的秩为n,称为满秩矩阵。若|A|=0,则矩阵的秩小于n,称为降秩矩阵。
向量组的秩的定义:
向量组
的极大无关组所含向量的个数,记为
(2)从定义出发分析两者之间的相互关系:
1.由向量组的秩可以引出矩阵的秩的定义,一个m行n列的矩阵可以看做是m个行向量构成的行向量组,也可看做n个列向量构成的列向量组。行向量组的一个最大线性无关组中包含向量的个数称为矩阵的行秩,列秩同理。
2.矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也等于它的行向量组的秩。