【新教材】7.2.2 复数的乘除运算
教学设计(人教A版)
教材分析
复数四则运算是本章的重点，复数代数形式的乘法与多项式乘法是类似的，不同的是即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．复数的除法运算法则是通过分子分母同时乘分母的共轭复数，将分母实数化转化为乘法运算而得出的.渗透了转化的数学思想方法，使学生体会数学思想的素材.
教学目标与核心素养
课程目标：
1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算；
2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律;
3.理解且会求复数范围内的方程根.
数学学科素养
1.数学抽象：复数乘法、除法运算法则;
2.逻辑推理：复数乘法运算律的推导;
3.数学运算：复数四则运算;
4.数学建模：结合实数范围内求根公式和复数四则运算，解决复数范围内的方程根问题.
教学重难点
重点：复数代数形式的乘法和除法运算．
难点：求复数范围内的方程根.
课前准备
教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练.
教学工具：多媒体.
教学过程
一、情景导入
前面学习了复数的加法、减法运算，根据多项式的乘法、除法运算法则猜测复数的乘法、除法满足何种运算法则？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本77-79页，思考并完成以下问题
1、复数乘法、除法的运算法则是什么？
2、复数乘法的多项式运算与实数的多项式运算法则是否相同？如何应用共轭复数解决问题？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究
1．复数代数形式的乘法法则
已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
[提示]复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．
2.复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
3．复数代数形式的除法法则
四、典例分析、举一反三
题型一 复数的乘法运算
例1计算下列各题．
(1)(1－2i)(3＋4i) (－2＋i)；(2)(2－3i)(2＋3i)；(3)(1+i)2 .
【答案】(1) －20＋15i. (2) 13. (3) 2i.
【解析】(1)原式=(11－2i)(-2＋i)＝-20＋15i.
(2)原式=(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝4－9i2＝4+9＝13.
(3)原式＝1＋2i＋i2＝1＋2i－1＝2i.
解题技巧(复数乘法运算技巧)
1．两个复数代数形式乘法的一般方法
(1)首先按多项式的乘法展开．
(2)再将i2换成－1.
(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．
2．常用公式
(1)(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R)．
(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)．
(3)(1±i)2＝±2i.
跟踪训练一
1．计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝()
A．2－13iB．13＋2i
C．13－13iD．－13－2i
【答案】D.
【解析】(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.
2．若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()
A．(－∞，1)B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞)D．(－1，＋∞)
【答案】B.
【解析】因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，
题型二 复数的除法运算
例2计算(1＋2i)(3－4i).
解题技巧：(复数的除法运算技巧)
1．两个复数代数形式的除法运算步骤
(1)首先将除式写为分式；
(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；
(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．
2．常用公式
(1)＝－i；(2)＝i；(3)＝－i.
跟踪训练二
题型三 复数范围内的方程根问题
例3在复数范围内解下列方程：
解题技巧(解决复数方程根问题的技巧)
与复数方程有关的问题，一般是利用复数相等的充要条件，把复数问题实数化进行求解．根与系数的关系仍适用，但判别式“Δ”不再适用．
跟踪训练三
1、已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数)．
(1)求b，c的值；
(2)试判断1－i是否是方程的根．
【答案】(1)b＝－2，c＝2. (2)1－i也是方程的一个根．
【解析】(1)因为1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.
(2)将方程化为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边x2－2x＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i也是方程的一个根．
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
七、作业
课本80页练习，80页习题7.2的剩余题.
教学反思
本节课主要是在学生了解复数的加减运算及共轭复数的基础上，类比多项式的乘除运算法则探讨得出复数的乘除运算法则，使学生对知识更加融会贯通.尤其在例3，使学生对方程的根有了更深刻的认识.
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