多边形的内角和与外角和导学案PPT课件公开课实录
9.2多边形的内角和与外角和
教学目的
1.使学生了解多边形及多边形的内角、外角等概念。
2.使学生通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式,并会利用它们进行有关计算。
重点、难点
1.重点:多边形的内角和与外角和定理。
2.难点:多边形的内角和,外角和定理的推导
教学过程
一、复习提问
1.什么叫三角形?
2.三角形的内角和是多少?
3.什么叫三角形的外角?什么叫外角和?三角形的外角和是多少?
二、新授
1.多边形的概念,
三角形有三个内角、三条边,我们也可以把三角形称为三边形(但习惯称三角形)。我们知道:不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结组成的平面图形叫三角形。
你能说出什么叫四边形、五边形吗?
如图(1)它是由不在同一直线上的4条线段首尾顺次连结组成的平面图形,记为四边形ABCD。(按顺时针或逆时针方向书写) A
D D
C B F
A C E
C
A B E
B (1) (2) D (3)
图(2)是由不在同一直线上的5条线段首尾顾次连结组成的平面图形,记为五边形ABCDE。
一般地,由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形,记为n边形,又称多边形。
与三角形类似如图,∠A、∠D、∠C、∠ABC是四边形ABCD的四个内角,延长 AB、CB得四边形ABCD的两个外角∠CBE和∠ABF,这两个外角是对顶角。一个n边形有n个内角,有2n个外角。
如果多边形的各边都相等,各内角也都相等,则称为正多边形,如正三角形、正四边形(正方形)、正五边形等等。连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线,如图1,线段AC是四边形 ABCD的对角线,如图2,线段AD、AC是四边形ABCDE的对角线,如图3中线段AC、AD、AE是六边形ABCDEF的对角线。
问:(1)四边形有几条对角线?(两条AC、BD)
(2)五边形有几条对角线?
以A为端点的对角线有两条AC、AD,同样以月为端点的对角线也有2条,以C为端点也有2条,但AC与CA是同一条线段,以D为端点的两条DA、DB与AD、BD都分别表示同一条线段。所以只有5条。
(3)六边形有几条对角线?n边形呢? 六边形有9条对角线。
从以上分析可知从n边形的一个顶点引对角线,可以引(n-3)条, (除本身这个点以及和这点相邻的两点外),那么n个顶点,就有n(n- 3)条,但其中每一条都重复计算一次,如AB与BA,所以n边形一共有条对角线。
大家可以加以验证:当n=3时,没有对角线,当n=4时,有2条;当n=5时,有5条:当n=6时,有9条…
2.多边形的内角和公式。
三角形是边数最少的多边形,它的内角和等于180°,那么一般n边形是否也有内角和公式呢?让我们先从四边形,正边形,六边形……开始。
从上面对角线的研究可知,一条对角线把四边形分成2个三角形,这两个三角形的内角和的和就是四边形的内角和,五边形的内角和就是图中3个三角表内角和的和。
让学生填写教科书表9.2.1,由此你可以得到“n”边形的内角和公式吗?
n边形的内角和=(n-2)?180°知道一个多边形的内角和,根据公式也可以求边数n。
例1.一个多边形的内角和等于2340°,求它的边数。
问题:一个正多边形的一个内角为150°,你知道它是几边形?
分析:正多边形的每个内角都相等。多边形的内角和等于(n-2)?180°,还可以用以下的划分来说明,即在n边形内任取一点P,连结点P与多边形的每个顶点,可得几个三角形?这几个三角形的各内角与这个多边的各内角之间有什么关系?请你试一试。
对有困难的学生教师可以加以引导。
如图(教科书图9.2.5)每一个三角形都有一条边就是多边形的边,因此n边形就可划分成n个三角形,这n个三角形的内角和减去以 P为顶点的周角所得的差就是n边形的内角和。因此,n边形的内角和为:
n?180°-360°=n?180°-2?180°=(n-2)?180°
问:还有其他方法吗?让学生自主探索,对不同方法给予鼓励。
3.多边形的外角和。
什么叫多边形的外角和。
与三角形的外角和一样,与多边形的每个内角相邻的外角有两个,这两个角是对顶角,从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加,得到的和称为多边形的外角和,如教科书图9.2.6,∠1+∠2+∠3+∠4就是四边形的外角和。
多边形的外角和是否也可以用公式表示呢?下面我们也来探讨。
因为n边形的一个内角与它的相邻的外角互为补角,所以可先求出多边形的内角与外角的总和,再减去内角和,就可得到外角和。
让学生填写填教科写表9.2.2
n边形的内角与外角的总和为n?180°
n边形的内角和为(n-2)?180°
那么n边形的外角和为n?180°-(n-2)?180°=n?180°-n?180°+360°=360°
这就是说多边形的外角和与边数无关,都等于360°。
例2.一个正多边形的一个内角比相邻外角大36°,求这个正多边形的边数。
分析:正多边形的各个内角都相等,那么各个外角也都相等,而多边形的外角和是360°,因此只要求出每个外角度数,就可知是几边形了。
点拨;多边形的外角和等于360°,与边数无关,故常把多边形内角的问题转化为外角和来处理。
三、巩固练习
1.教科书第70页练习1.2。
第2题引导学生从外角考虑,多边形的内角是锐角,那么和这个内角相邻的外角是什么样的角?[钝角]
多边形的外角和是360°,那么在这些外角中钝角的个数最多可以是几个?3个可以吗?4个呢?让学生动手算一算,由他们自己得出结论.
从而得到最多可以有3个外角是钝角,即多边形的内角中最多可以有3个是锐角。
四、小结
本节课我们通过把多边形划分成若干个三角形,用三角形内角和去求多边形的内角和,从而得到多边形的内角和公式为(n-2)?180°。这种化未知为已知的转化方法,必须在学习中逐步掌握。由于多边形的外角和等于360°,与边数无关,所以常把多边形内角的问题转化为外角和来处理。
五、作业
教科书习题9。2 1、2、3、4。